مجله صص -138 129 ماهنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک مدرس mme.modares.ac.ir ماتریس ژاکوبین بیبعد کارتزینی جهت ارزیابی عملکرد و بهینهیابی رباتهاي موازي با درجه آزادي مرکب *1 1- استادیار مهندسی مکانیک دانشگاه مازندران بابلسر * بابلسر صندوق پستی 47416-1467 ma.hosseini@umz.ac.ir اطلاعات مقاله مقاله پژوهشی کامل دریافت: 25 بهمن 1392 پذیرش: 29 فروردین 1393 اراي ه در سایت: 05 مهر 1393 کلید واژگان: ماتریس ژاکوبین کارتزین بیبعد ربات موازي بهینهسازي درجه آزادي مرکب فضاي کاري کارتزینی چکیده شاخصهايعملکردسینماتیکی بهطور قابل ملاحظهاي در تشخیص کارآمدي ربات در اهداف خاص بهکار میروند. از جمله زمینه- هاي قابل استفاده میتوان به طراحی بهینه برنامهریزي مسیر برنامهنویسی تحلیلرفتار و بررسی چالاکی و تفکیکپذیري ربات اشاره نمود. در بیشتر موارد این شاخصها زمانی قابل استفاده خواهند بود که ربات تنها داراي یک نوع درجهآزادي از نوع انتقالی یا دورانی باشد. در شرایطی که ربات هر دو درجهآزادي انتقالی و دورانی را داشته باشد شاخصهاي عملکرد مانند عدد شرط ماتریس ژاکوبین و مقادیر تکین مربوط به آن بهدلیل غیر همبعد بودن عناصر تشکیلدهنده کاربردي نمیباشند. در این مقاله مشکل ناهم- بعدي ماتریس ژاکوبین و عدم امکان استفاده از شاخصهاي وابسته با معرفی ماتریس ژاکوبین جدیدي به نام ماتریس ژاکوبین کارتزینی که ارتباط سرعت پنجه را در دستگاه کارتزینی با بردار سرعت مفاصل محرکشان میدهد حل شده است. روش معرفی شده در قالب مطالعه موردي براي ربات موازي تريسپت بهکار گرفته شده است. پس از بررسی تغییرات شاخصهاي عملکرد درون فضاي کاري با استفاده از الگوریتم ژنتیک عملیات بهینهسازي ساختار ربات براي دستیابی به فضايکاري کارتزینی بیشینه با بیشترین قدرت سرعتپذیري پنجه انجام شده است. همچنین ساختار ربات چنان بهینهسازي شده است که داراي بزرگترین حجم فضاي کارتزینی مکعبی شکل بهعنوان زیرفضاي کاربردي با سرعتپذیري زیاد باشد. بهینهسازي با استفاده از الگوریتم ژنتیک در نرمافزار متلب با ویرایش 2012 انجام شده است. Cartesian Dimensional Homogeneous Jacobian Matrix for Performance Evaluation and Optimization of Complex Dof Parallel Manipulator Mir Amin Hosseini 1* 1- Department of Mechanical Engineering, University of Mazandaran, Babolsar, Iran. * P.O.B. 47416-1467Babolsar, Iran. ma.hosseini@umz.ac.ir ARTICLE INFORMATION Original Research Paper Received 14 February 2014 Accepted 18 April 2014 Available Online 27 September 2014 Keywords: Homogeneous Cartesian jacobian matrix Parallel kinematic Optimization Complex DoF, Cartesian workspace ABSTRACT Kinematic performance indices are used to have an evaluation of the potential efficiency of the robots. Some of these items are designing the optimal structure,trajectory planning, programming, and evaluation of behavior of the robot in positioning and orienting withdesired rates or resolution. These indices will be used when the robot has even translational or rotational degrees of freedom (DoF). Due to dimensional incompatibility of the Jacobian entries in the complex DoF s robots with both types of DoF s, performance indices such as Jacobian condition index and associate singular values, are not applicable. In this paper, inhomogeneity of Jacobin matrix has been resolved by introducing a new Jacobian matrix which is called Cartesian Jacobian Matrix (CJM).Cartesian Jacobian Matrix maps Cartesian velocity vector of End-Effector (EE) to the joint space velocity vector. As a case study, the suggested method has been used for a Tricept parallel kinematic manipulator. Moreover, considering Local Conditioning Index (LCI) and associatedsingular values through the workspace have been led to structure optimization of the robot in order to have maximum positioning and orienting rates of EE through the maximum cuboid workspace. The optimization has been performed by Genetic algorithm via GA toolbox of MATLAB 2012 software. 1- مقدمه رباتهاي موازي در مقایسه با رباتهاي سري داراي مزایایی مانند صلب بودن و دقت بیشتر ظرفیت تحمل نیرو و گشتاور بیشتر و همچنین سرعت عمل زیادتر میباشند[ 1 ]. رباتهایی با درجه آزادي همزمان انتقالی و دورانی به رباتهاي با درجه آزادي مرکب معروفند[ 2 ]. درایههاي ماتریس ژاکوبین در رباتهاي موازي با درجه آزادي مرکب از نظر ابعادي غیرهم بعد می - باشند[ 3 ]. درچنین شرایطی بیبعدسازي ماتریس ژاکوبین براي محاسبه عدد Please cite this article using: براي ارجاع به این مقاله از عبارت ذیل استفاده نمایید: M. A. Hosseini, Cartesian Dimensional Homogeneous Jacobian Matrix for Performance Evaluation and Optimization of Complex Dof Parallel Manipulator, Modares Mechanical Engineering, Vol. 14, No. 10, pp. 129-138, 2014 (In Persian)
3 2 1 شرط و تحلیل چالاکی و سفتی لازم و ضروري است[ 2 ]. رنجبران و انجلس 4 [4] ناسازگاري ابعادي ذکر شده را با معرفی طول مشخصه( CL ) برطرف نمودند. با تقسیم درایههایی از ماتریس ژاکوبین که داراي بعد طول هستند بر این ضریب بعددار با بعد طول ماتریس ژاکوبین بی بعد شده حاصل میشود. ما و انجلس [5] 5 ضریب دیگري به نام طول طبیعی( NL ) براي بیبعدسازي ماتریس ژاکوبین و بهینهسازي استفاده نمودند. چبلت و همکاران [6] از طول مشخصه بهمنظور تعیین پارامترهاي طراحی ربات موازي صفحهاي با ساختار سینماتیکی PRR 6 براي دستیابی به شرایط همسانگردي [7] استفاده نمودند. گاسلین [8] روش دیگري براي بیان ماتریس ژاکوبین بیبعد ربات صفحهاي با یک درجه آزادي دورانی و دو درجه آزادي انتقالی اراي ه داد. ماتریس ژاکوبین مذکور ارتباط سرعت عملگرها را با مولفههاي x و y سرعت دو نقطه از سکوي متحرك برقرار میسازد. کیم و ریو [9] با توسعه این ایده ارتباط بردار سرعت عملگرها را با سرعت سه نقطه از سکوي متحرك توسط ماتریس ژاکوبین بیبعد برقرار نمود. پوند و کاریترو [3] ایده مذکور را باز هم توسعه داده و بردار سرعت عملگرها را با سه مولفه مستقل از سه نقطه واقع بر سکوي متحرك مرتبط ساختند. انجلس [10] ضریب دیگري به نام طول مشخصه مهندسی 7 (ECL) براي بیبعدسازي ماتریس ژاکوبین معرفی نموده است. حسینی و دانیالی [11] روش دیگري را براي بیبعدسازي ماتریس 8 ژاکوبین توصیه نمودهاند. در این روش ماتریس ژاکوبین و بردار توییست با 9 اعمال ضریب وزندار بهطور همزمان بیبعد میشوند بهطوريکه تعادل ابعادي معادلات حفظ میشود. حسینی و همکاران [12] با استفاده از این روش براي بهینهسازي ربات موازي با درجه آزادي مرکب براي دستیابی به بیشینه حجم فضايکاري با سرعت بالا در موقعیتپذیري انتقالی و دورانی استفاده نمودند. 10 در این تحقیق ربات تريسپت بهعنوان یک ساختار مکانیزم موازي با درجه آزادي مرکب انتخاب شده است. روابط سینماتیکی موجود و استخراج ماتریس ژاکوبین بهعنوان پیش نیاز معرفی شده تا بهکمک آن ماتریس ژاکوبین جدیدي به نام ماتریس ژاکوبین کارتزینی که از نظر ابعاد همگن میباشد معرفی شود. بهعنوان مطالعه موردي براي یک ساختار نمونه چگونگی محاسبه حجم فضايکاري قیود هندسی و طراحی تعریف میشوند. با تعریف ماتریس ژاکوبین کارتزینی و ایجاد ارتباط بین بردار سرعت کارتزینی پنجه و بردار سرعت مفاصل و محدود سازي عدد شرط و کمینه مقادیر تکین ماتریس حاصل و همچنین با استفاده از الگوریتم ژنتیک ساختار ربات براي دستیابی به بیشینه حجم فضايکاري کارتزینی که در آن سرعت پذیري پنجه بیشترین مقدار خود را داراست بهینهسازي میشود. در گام بعدي ساختار مکانیزم بهمنظور دستیابی به فضایی مکعبی شکل با قابلیت سرعتپذیري بالا بهعنوان فضاي کاربردي مورد نظر با حجم بیشینه بهینهسازي میشود. روابط سینماتیک و حرکتپذیري ربات را مورد مطالعه قرار داده است. پوند و کاریترو [3] ماتریس ژاکوبین بیبعد شده ربات مورد نظر را با توسعه روش اراي ه شده توسط کیم و ریو [9] بهدست آورد. بهینهسازي ساختار ربات توسط ژنگ و گاسلین [15] مورد بررسی قرار گرفت. همچنین حسینی و همکاران [12] ساختار ربات را براي دستیابی به بیشینه سرعتپذیري پنجه در بزرگترین فضاي کاري قابل دسترس بهینه نمودند. این مکانیزم بهعنوان یک ربات جوشکار و ماشینکار چالاك توسط شرکت 11 تريسپت پی کی ام تولید شده و مورد استفاده کارخانجات بزرگ خودروساز و هواپیماسازيهاي بزرگی مانند آي ودي بی ام دبلیو رنو بویینگ و موارد مشابه قرار گرفته است[ 16 ]. شکل 1 ربات جوشکار لیزر تريسپت محصول شرکت تريسپت پیکیام را نشان میدهد. ربات تريسپت مطابق شکل 2 از سه پایه فعال که از یک زنجیره سینماتیکی شامل مفصل یونیورسال مفصل کشویی (UPS) و یک مفصل کروي تشکیل یافته است. در هر یک از حلقههاي سینماتیکی مفاصل کشویی مفاصل فعال میباشند که توسط موتور و بالاسکرو به حرکت واداشته میشوند. وجود یک پایه شامل مفاصل کشویی و یونیورسال در (PU) مرکز ربات که سکوي ثابت را به متحرك متصل ساخته امکان دوران حول محور قاي م (z) و جابهجایی انتقالی در راستاي محورهاي x و y را از سکو سلب مینماید. دو دستگاه مختصات متحرك و متصل به زمین {P(uvw)} و {O(xyz)} به ترتیب به سکوي متحرك و ثابت متصل است. - 1-2 تحلیل سرعت مدل هندسی ربات در شکل 2 نشان داده شده است. با توجه به شکل براي هر یک از پایهها رابطه (1) برقرار است. (1) نسبت به که در آن c + R(a + d) = n + n c و d بردارهایی به ترتیب بردار موقعیت نسبت به c O و P C است. همچنین R متحرك را نسبت به ثابت حول دو محور بردار موقعیت نقاط x و y ماتریس دورانی است که دستگاه مختصات دوران میدهد. به علاوه ai نسبت به Ai دستگاه ثابت میباشند. همچنین بردارهاي li biو P و bi بردار موقعیت نقاط Bi nbi و nli نسبت به بردارهاي یکهاي هستند که جهات را نشان میدهند. لازم بهذکر است بردارها با حروف کوچک توپر و ماتریسها با حروف بزرگ توپر نمایش داده شده اند. با مشتقگیري از رابطه (1) نسبت به زمان معادله (2) نتیجه میشود: c + ω R(a + d) = n + ω n (2) 2- مکانیزم تريسپت خانواده ربات تريسپت با دو درجه آزادي دورانی و یک درجه آزادي انتقالی (شکل 1) براي اولین بار توسط نیومن [13] معرفی شد. سیسیلیانو [14] شکل 1 ربات جوشکار لیزر تريسپت محصول شرکت تريسپت پیکیام [16] 11- Tricept PKM 1- Condition Number 2- Dexterity 3- Stiffness 4- Characteristic Length 5- Natural Length 6- Isotropy Condition 7- Engineering Characteristic Length 8- Twist Array 9- Weighting Factor 10- Tricept 130
-3 که در آن الف) اجزا تشکیل دهنده و چیدمان در ساختار ربات ب) نمایش برداري اجزا تشکیل دهنده در ساختار ربات ωp و ωl شکل 2 ساختار ربات تريسپت بردارهاي سرعت زاویهاي پنجه و پایهها است. با اعمال ضرب داخلی nli به دو طرف رابطه (2) رابطه (3) نتیجه میشود: n c + n ω R(a + d) = (3) بازنویسی رابطه (3) براي هرسه پایه به رابطه ماتریسی (4) ختم میشود: بردار توییست x که در آن q بردار سرعت خطی عملگرها و J ژاکوبین معکوس میباشند که بهصورت روابط (5) تا (7) قابل تعریفند. ماتریس q = (6) x = J = (R(a + d) n ) (R(a + d) n ) (R(a + d) n ) (R(a + d) n ) (R(a + d) n ) (R(a + d) n ) (7) با توجه به رابطه (4) و درایههاي ماتریس ژاکوبین معکوس مشخص است که درایههاي واقع در ستون اول بدون بعد و درایههاي ستونهاي دوم و سوم داراي بعد طول میباشند. هر ماتریس 1 تجزیه ماتریس به مقادیر تکین (SVD) 3 تفکیکپذیري و سرعتپذیري 2 همسانگرد ي Am n در آن ماتریسهاي را میتوان بهصورت حاصل سه ماتریس USV T بیان نمود که Um m شامل مقادیر تکین ماتریس ماتریس است. A A2 2 V ماتریس و Vn n ماتریسهاي دوران و ماتریس Sm n ماتریس است. از لحاظ فیزیکی چگونگی عملکرد تبدیل از فضاي برداري اولیه به فضاي برداري انتهایی مطابق شکل 3 فضاي برداري را به اندازه θ1 دوران داده و ماتریس شامل S مقادیر تکین (σ1 و σ2) در راستاي محورهاي دوران یافته از مرحله قبل (شامل V1 و V2) فضا را به اندازه مقادیر تکین میکشد. با این کشیدگی فضاي دایرهاي شکل به بیضی تبدیل میشود. میزان بزرگنمایی در هر یک از راستاها تابع اندازه مقدار تکین است. با اعمال ماتریس دوران U دوباره فضاي حاصل به اندازه θ2 دوران مییابد. بر این اساس نقش ماتریس ژاکوبین را انتقال دوران و بزرگنمایی فضاي برداري سرعت عملگرها به فضاي برداري سرعت پنجه بیان مینمایند[ 5 ]. بیضی حاصل از اعمال ماتریس ژاکوبین و تبدیل فضاي برداري به 4 مهارت ربات معروف است. با نزدیک شدن شعاعهاي بیضی مهارت به هم رفتاري متقارن در جهات مختلف توسط پنجه ربات قابل دسترس خواهد بود. نسبت بزرگترین به کوچکترین شعاع بیضی مهارت بهنام عدد شرط ماتریس ژاکوبین شناخته میشود. عدد شرط ماتریس مشخصهاي از قابلیت معکوسپذیري آن ماتریس است[ 5 ]. از عدد شرط ربات بهعنوان معیاري براي دقت ربات یاد شده است[ 17 ]. همچنین عدد شرط بهعنوان یکی از شاخصهاي عملکرد ربات محسوب میشود[ 18 ]. با توجه به ماهیت فیزیکی مقادیر تکین ماتریس ژاکوبین در بزرگنمایی وروديها در جهات مختلف میتوان با محدودسازي حداقل مقادیر تکین به یک اندازه کمینه یا حداکثر مقادیر تکین به یک اندازه بیشینه و همچنین درنظر گرفتن شرایط همسانگردي به ساختاري از ربات با تفکیکپذیري یا سرعت مطلوب در موقعیت پذیري دست یافت. استفاده از مقادیر تکین و عدد شرط در گرو بیبعد بودن درایههاي شکل 3 مراحل عملکرد تبدیل ماتریس A و عناصر تجزیه شده آن 1- Singular Value Decomposition 2- Isotropy 3- Resolution 4- Manipulability J x = q (4) (5) 131
ماتریس ژاکوبین است. 4- ماتریس ژاکوبین بیبعد روشهاي بیبعدسازي پیشنهادي که تاکنون اراي ه شده به دو دسته اصلی تقسیم میشوند. در این بخش ضمن بیان روشهاي پیشنهادي روش جدیدي جهت بیبعدسازي ماتریس ژاکوبین اراي ه میشود تا بتوان بهکمک آن ارزیابی کیفی از ساختار مکانیزمهاي با درجات آزادي مرکب در اینجا منظور ربات تريسپت است- داشت. همچنین در یک گام رو به جلو بهینهسازي ساختار بهمنظور دستیابی به شاخصهاي کیفی مورد نظر محقق شود. - -1 4 بیبعدسازي با استفاده از تقسیم بر یک ضریب بعددار دسته اول از روشهاي پیشنهادي جهت بیبعدسازي ماتریس ژاکوبین [6 11-4] تقسیم درایههاي بعددار ماتریس ژاکوبین بر یک ضریب ثابت است که از نظر ابعادي داراي بعد طول میباشد. ضریب مورد نظر میتواند توسط ساختار هندسی و ابعادي ربات تعیین شود [6-4] یا اینکه توسط طراح بهعنوان ضریبی که ارتباط سرعتهاي دورانی و انتقالی را به هم مرتبط می - سازد تعیین شود[ 11 ]. دراین راستا با درنظر گرفتن ضریب L بهعنوان ضریب بیبعدساز وزندار ماتریس ژاکوبین بیبعد بهصورت رابطه (8) بهدست میآید. (R(a + d) n ) / (R(a + d) n ) / J = (R(a + d) n ) / (R(a + d) n ) / (R(a + d) n ) / (R(a + d) n ) / (8) یب- 2-4 بعدسازي با درنظرگرفتن مولفههاي سرعت نقاطی از سکو در این روش ماتریس ژاکوبین ارتباط سرعت پنجه را با مولفههاي منتخب سه نقطه واقع بر سکو برقرار میسازد [3 8 9]. سرعت سکو بهصورت تابعی از این سه مولفه نوشته شده و ماتریس ژاکوبین این ارتباط را برقرار میسازد. چنانچه مولفههاي قاي م سه نقطه از سکو را براي ربات مورد نظر منظور شود ماتریس ژاکوبین بیبعد شده را میتوان بهصورت حاصل ضرب ماتریس ژاکوبین در ماتریس ضرایب که تابعی از موقعیت میباشند تعریف نمود[ 11 ]. ماتریس ضرایب حاصل از روش فوق مطابق رابطه (9) میباشد که حاصل ضرب ماتریس ژاکوبین در معکوس ماتریس ضرایب ماتریس ژاکوبین بیبعد را نتیجه میدهد. -dsψcθ -dsθcψ-r a Cθ 1 J = -dsψcθ+r a CψCθSα -dsθcψ-r a CθCα-r a SθSψSα 1 ( 9) -dsψcθ+r a CψCθSβ -dsθcψ-r a CθCβ-r a SθSψSβ 1 که در آن α و β به ترتیب برابر 120 و 240 درجه میباشند. همچنین r a شعاع سکوي متحرك (فاصله شعاعی مفاصل کروي نسبت به P) است. ماتریس ژاکوبین بیبعد حاصل از این روش با Jنشان v داده شده و از رابطه (10) محاسبه میشود. رابطه (11) را میتوان بهصورت رابطه (12) نیز بازنویسی نمود. x c =[dcψsθ -dsψ c+dcθcψ] T (12) با مشتقگیري از رابطه (12) نسبت به زمان سرعت پنجه در فضاي کارتزینی مطابق رابطه (13) بهدست میآید. = [ ] = (13) که در آن J مطابق رابطه (14) تعریف میشود. -dsθsψ dcψcθ 0 = -dcψ 0 0 (14) -dcθsψ -dsθcψ 1 با توجه به معادلههاي (4) (12) و (14) ماتریس ژاکوبین کارتزینی از رابطه (15) بهدست میآید. = (15) بهطوريکه ارتباط سرعت پنجه در فضاي کارتزینی با بردار سرعت عملگرها مطابق رابطه (16) به هم مربوط میشوند. (16) در نتیجه = ارتباط بردار سرعت مفاصل با بردار سرعت پنجه توسط ماتریس ژاکوبینی بیبعد تعریف شده که میتوان از شاخصهاي عملکردي حاصل از آن براي بررسی عملکرد ربات استفاده نمود. 5- فضاي کاري ربات فضاي کاري ربات مجموعه نقاط قابل دسترس توسط پنجه ربات است که میتواند در ابعادي منطبق با درجات آزادي ربات یا در فضایی کارتزینی تعریف شود. براي یافتن فضاي کاري از الگوریتم پیشنهادي زیر استفاده میشود. - 1-5 الگوریتم بهمنظور تعیین شکل و اندازه حجم فضايکاري فضاي سهبعدي متشکل از محورهاي صفحه ψ-θ-z ψ-θ از فضاي حرکتی پنجه به یک سري از زیرفضاهاي موازي با تقسیم میشود. سپس با استفاده از یک روش جستجو مرز زیرفضاها مشخص شده و حجم فضايکاري نیز با استفاده از روش انتگرالگیري عددي بهدست میآید. همانگونه که در شکل 4 مشخص است در زیرفضایی به ارتفاع Zi درون فضايکاري بهمنظور تعیین مرز زیر فضا بردار قطبی میشود. ρiبا قابلیت دوران حول محور Z از صفر تا 2π درجه در نظر گرفته نقاط مرزي بهصورت نقاط Zi) Pi(ρCosα, ρsinα, بهدست میآیند. با ارضاي شرایط سینماتیکی ربات اندازه طول بردارρi به اندازه Δρ افزایش یافته جایگزین وρi+1 ρi میشود تا زمانیکه شرایط سینماتیکی ارضا نشوند. = (10) - -3 4 ماتریس ژاکوبین کارتزین بیبعد در این مقاله روش پیشنهادي تعریف و بهکارگیري ماتریس ژاکوبین بیبعدي است که ارتباط سرعت پنجه ربات در فضاي کارتزینی را با بردار سرعت عملگرها برقرار میسازد. (11) 132 مختصات کارتزینی پنجه مطابق با رابطه (11) قابل تعریف است. شکل 4 زیرفضایی از فضايکاري ربات تريسپت x c =[x y z] T Cθ SψSθ CψSθ = 0 Cψ -Sψ [0 0 d] T +[0 0 c] T -Sθ CθSψ CθCψ
درچنین شرایطی نقطه Pi مشخص میشود. در مرحله بعد بردار ρi ρi دوران یافته و بردار z حول محور Δα به اندازه از مقدار صفر تا زمانیکه شرایط سینماتیکی ارضا شود افزایش مییابد. به این ترتیب مرز فضايکاري در هر ارتفاع بهدست میآید. با توجه به شکل 4 حجم هر المان فضايکاري از رابطه (17) بهدست میآید: d = 2 (17) (18) حجم فضايکاري با استفاده از رابطه (18) قابل محاسبه است. = 1 2-2-5 قیدهاي هندسی این قیدها شامل محدوده بالا و پایین براي عملگرهاي خطی و دامنه عملکرد مفاصل یونیورسال کروي و کشویی از لنک میانی و پایهها و همچنین برخورد پایهها با هم است. محدوه حرکتی مفاصل یونیورسال و کروي( ζ ) با استفاده از روابط سینماتیکی قابل محاسبه است. است. قیود هندسی موجود براي ربات مورد نظر در جدول 1 نشان داده شده - 3-5 قیود طراحی این قیود شامل تمامی نیازمنديهاي فرآیند طراحی است. شاخصهاي عدد شرط و حداقل و حداکثر مقادیر تکین ازجمله شاخصهاي کیفی عملکرد سینماتیکی ربات میباشند[ 11 ]. در اینجا از شاخصهاي ذکر شده بهمنظور بهسازي ساختار ربات براي دستیابی به حجم فضايکاري بیشینه همراه با بیشترین قابلیت سرعتپذیري استفاده شده است. - 6 فضاي کاري کارتزینی با توجه به شکل 1 و رابطه (12) مختصات کارتزینی پنجه بهصورت تابعی پارامتري از موقعیت پنجه بر حسب ψ Z و θ تعریف میشود. با استفاده از یک الگوریتم جستجو همانند آنچه در بخش -1 5 توضیح داده شد میتوان مختصات نقاط مرزي را درهر ارتفاع از فضايکاري مشخص نمود. تنها با این تفاوت که مختصات کارتزینی با استفاده از رابطه (12) و تبدیل از مختصات نقاط p i حاصل از الگوریتم مرحله قبل نتیجه میشود. 7- مطالعه موردي با درنظر گرفتن ساختار مکانیزم مطابق جدول 2 و با استفاده از الگوریتم جستجو فضايکاري کارتزین مطابق شکل 5 خواهد بود. کلیه نقاط داخل حجم نمایش داده شده توسط پنجه قابل دسترس بوده و هیچگونه نقطه تکین یا غیر قابل دسترسی داخل فضاي مورد نظر وجود ندارد. پارامتر ساختاري شعاع سکوي متحرك شعاع سکوي ثابت بخش فوقانی از لینک میانی دامنه حرکت مفاصل دامنه حرکت عملگرها جدول 1 قیود هندسی در ربات مورد بررسی علامت مشخصه ra(mm) دامنه تغییرات پارامتر ساختاري شعاع سکوي متحرك شعاع سکوي ثابت جدول 2 ساختار ربات تريسپت در مطالعه موردي بخش فوقانی از لینک میانی دامنه حرکت مفاصل دامنه حرکت عملگرها علامت مشخصه اندازه 200 300 200 ±60 400-750 ra(mm) rb(mm) d(mm) ζ(deg) Ls(mm) شکل 5 حجم فضاي کاري کارتزینی (CWV) ساختار نمونه - -1 7 فضايکاري کارتزینی با شکل دلخواه قابل محاط شدن در شکل 5 شمایل فضايکاري کارتزینی به دور از یک قاعده مشخص است. این در حالی است که بهمنظور تعریف فضايکاري ماشینهاي ابزار از یک مکعب مستطیل با ابعاد مشخص که تمامی نقاط آن توسط پنجه قابل دستیابی است استفاده میشود. لذا لازم است از یک الگوریتم جستجوي دیگر براي یافتن بزرگترین مکعبمستطیل قابل محاط شدن درون فضايکاري کارتزینی بیقاعده استفاده شود. با توجه به محدب بودن شکل فضاي کاري کافی است گوشههاي مکعب مستطیل مورد نظر در فضايکاري پیدا شود. الگوریتم پیشنهادي زیر جهت یافتن گوشههاي مکعب مستطیل با نسبت ابعاد مشخص مورد استفاده قرار میگیرد. - -1-1 7 الگوریتم جستجو براي یافتن گوشههاي فضاي مکعب مستطیل شکل بهمنظور یافتن نقاط گوشهاي مکعب مستطیلی با نسبت ابعاد در فضايکاري بیقاعده مراحل زیر مورد استفاده قرار میگیرد. محاط m n l - 1 یافتن مرکز مکعب: بعد از بهدست آمدن نقاط مرزي فضايکاري کمترین و بیشترین ارتفاع قابل دستیابی توسط پنجه با عنوان مطابق شکل Zmin و Zmax 6 -الف مشخص میشوند. از مقدار میانگین این دو مقدار بهعنوان ارتفاع مرکز مکعب و مقدار مختصات صفر در راستاي براي دو Y و X مختصه دیگر مرکز استفاده میشود. توضیح اینکه انتخاب مقادیر صفر به دلیل متقارن بودن شکل فضايکاري بیقاعده است. - 2 یافتن گوشههاي مکعب با نسبت ابعاد مشخص:مطابق شکل با گامی به اندازه Δρ در زاویه صفر درجه حرکت شروع شده و مختصات هشت گوشه به نسبت ابعادي مورد نظر بهدست میآید. این نقاط در شکل 6 -ب با نقاط Vi (به ازاي 8..1=i) نشان داده شده است. این کار با افزایش گام تکرار میشود تا 200-300 300-500 0-200 ±60 400-750 rb(mm) d(mm) ζ(deg) Ls(mm) 133
زمانیکه یکی از هشت مختصات گوشهها از فضايکاري خارج شود. با هر بار تکرار به شمارنده یکی افزوده میشود. تعداد گامهاي این مرحله با زاویه مربوطه ذخیره میشود. زاویه به اندازه گام α Δα افزایش یافته و از مرکز با تکرار عملیات جستجوي گوشهها آغاز میشود و تعداد گامها و زاویه مربوطه ذخیره میشود. این عملیات تا زاویه 45 درجه تکرار میشود. - 3 بزرگترین مکعب: زاویهاي که داراي بیشترین شمارنده است مربوط به بزرگترین مکعب مستطیل میشود. با داشتن مقدار بزرگترین شمارنده و زاویه مربوطه مختصات گوشهها و ابعاد مکعب مستطیل و حجم آن به دست میآید. با استفاده از الگوریتم فوق براي ساختار نمونه مطابق جدول 2 و با حجم فضايکاري برابر 0/0098m 3 بزرگترین مکعبمستطیل قابل محاط شدن در آن برابر 0/0021m 3 بهدست آمده است که %21/92 از حجم فضايکاري را اشغال نموده است. - -2 7 بزرگترین فضاي کاري کارتزینی ساختار هندسی ربات مطابق رابطه (19) و با استفاده از الگوریتم ژنتیک چنان بهینه میشود که تابع هدف که همان حجم فضاي کاري است که باید بیشینه شود. الف) اولین گام جستجو در زاویه صفر درجه V *, V(ra )بیشینه= rb,d)) تابع هدف: با توجه به قیود: (19) 0/3 >ra>0/2-1 0/5>rb> 0/3-2 0/7 >d> 0/02-3 نتیجه حاصل از عملیات بهینهسازي در جدول 3 نشان داده شده است. شکل 7 فضايکاري بیشینه را به همراه مکعب درون آن نشان میدهد. حجم بزرگترین فضاي مکعب مستطیل درون بزرگترین فضاي کاري کارتزینی برابر 0/0017m 3 است. مشاهده میشود که تنها در حدود %14 از حجم فضاي کاري کارتزینی مکعب مستطیل داراي قابلیت استفاده است. در مقایسه با حالت قبل مشاهده میشود که اگرچه حجم فضاي کاري کارتزینی تا حدود %23 افزایش یافته ولی توسعه فضاي کاري همراه با ازدست دادن %19 از حجم مکعبی شکل کارتزین درون فضاي کاري بهعنوان فضاي کاربردي مکانیزم یا فضاي قابل استفاده میباشد. این مشکل بهینهسازي ساختار ربات جهت دستیابی به بزرگترین حجم فضاي کارتزینی مکعبی شکل را پر اهمیتتر میسازد. همگرایی نتایج بهینهیابی در شکل 8 نشان داده شده است. در نمودار مذکور محور افقی شماره نسل( G ) و محور قاي م میدهد. مقدار همگرایی (Fv) را نشان جدول 3 نتایج حاصل از بهینهسازي جهت دستیابی به بیشترین حجم فضاي کاري پارامتر ساختاري شعاع سکوي متحرك شعاع سکوي ثابت بخش فوقانی از لینک میانی علامت مشخصه ra(mm) اندازه 220 500 20 rb(mm) d(mm) 0/0121 m 3 حجم فضاي کاري کارتزینی حجم بزرگترین فضاي مکعبی داخل فضاي کاري جمعیت اولیه درصد حذف تعداد تکرار الگوریتم 0/0017 100 %20 51 m 3 --- ب) جستجو در زاویه Δα درجه و نقاط گوشه مکعب مستطیل شکل 6 گامهاي مختلف جستجو براي مکعب مستطیل محاط در فضاي کاري کارتزینی شکل 7 فضاي کاري بیشینه (MWV) و بزرگترین مکعب قابل محاط شدن در آن 134
شکل 8 همگرایی نتایج بهینهیابی ساختار با فضاي کاري بیشینه (MWV) - -3 7 فضاي کاري کارتزینی همراه با بیشینه سرعت دورانی و انتقالی علاوه بر اهمیت اندازه حجم فضاي کاري کارتزینی بهعنوان حجم فضاي کاربردي مکانیزم برخی شرایط کاري مانند حداقل تفکیکپذیري یا دقت موقعیتپذیري مورد نیاز یا کمینه سرعت لازم در موقعیتپذیري پنجه مورد نظر طراح یا سازنده باشد. به این منظور لازم است با محدودسازي حداقل مقدار تکین ماتریس ژاکوبین به یک مقدار بیشینه فضايکاري کارتزینی ربات با بیشینه سرعت دورانی و انتقالی بهدست میآید. شکل 9 تغییرات حداقل مقادیر تکین ماتریس ژاکوبین کارتزین بیبعد( Smin ) را در فضاي کاري ربات با ساختار نشان داده شده در جدول 3 نشان میدهد. همچنین شکل 10 تغییرات عدد شرط ماتریس ژاکوبین کارتزین بیبعد براي ساختار مورد اشاره را نشان میدهد. بهصورت جنبی نمایش این دو شاخص مستخرج از دو روش بیبعدسازي دیگر یعنی استفاده از ضریب وزندار و استفاده از مولفههاي قاي م سه نقطه از سکو نیز در شکلهاي 11 تا 14 نیز مشاهده میشوند. در هر سه روش در نواحی نزدیک به موقعیت x و y مختلف سکو که همراه با دورانهاي نزدیک به صفر است همسانگردي بیشترین مقدار خود را داراست. صفر در ارتفاعهاي شاخص دامنه تغییرات حداقل مقادیر تکین ماتریس ژاکوبین بیبعد شده توسط روش پیشنهادي (مطابق شکل 9) بین 1/15 تا 1/6 میباشد. حال آنکه این تغییرات در دو روش قبلی (مطابق شکل 11 و 13) به ترتیب بین 1 تا 1/6 و شکل 10 نمایش تغییرات عدد شرط ماتریس ژاکوبین (LCI) در فضاي کاري ربات شکل 11 تغییرات حداقل مقادیر تکین ماتریس ژاکوبین بیبعد شده با استفاده از ضریب وزندار برابر 0/2 متر در فضاي کاري ربات شکل 9 تغییرات حداقل مقادیر تکین ماتریس ژاکوبین کارتزین در فضاي کاري ربات شکل 12 نمایش تغییرات عدد شرط ماتریس ژاکوبین( LCI ) بیبعد شده با ضریب وزندار برابر 0/2 متر در فضاي کاري ربات 0/74 تا 0/94 میباشد. دامنه تغییرات شاخص شرط ماتریس ژاکوبین بیبعد شده توسط روش پیشنهادي (مطابق شکل 10) بین 0/55 تا 0/95 میباشد. حال آنکه این تغییرات در دو روش قبلی (مطابق شکل 12 و 14) به ترتیب بین 0/6 تا 0/95 و 0/55 تا 0/75 میباشد. روش پیشنهادي با دامنه تغییرات بالاتر روشی به مراتب حساستر را چه 135
شامل میشود درحالیکه بزرگترین مکعب مستطیل قابل محاط شدن در این فضا با ابعادي برابر mm کرده است. 109/1 تنها %14 از فضاي کاري مورد نظر را اشغال - -4 7 بزرگترین فضاي کاري کارتزینی همراه با بیشینه سرعت دورانی و شکل 13 تغییرات حداقل مقادیر تکین ماتریس ژاکوبین بیبعد شده با مولفههاي قاي م سه نقطه از سکو در فضاي کاري ربات شکل 14 نمایش تغییرات عدد شرط ماتریس ژاکوبین( LCI ) بیبعدشده با مولفههاي قاي م سه نقطه از سکو در فضايکاري ربات در زمینه بررسی شاخص همسانگردي و چه در زمینه بررسی سرعتپذیري نشان میدهد. بهمنظور بیشینهسازي سرعت جابهجایی پنجه به ازاي تحریک واحد عملگرها لازم است حداقل مقادیر تکین ماتریس ژاکوبین درون فضايکاري ربات از حداقل مقدار (مورد نظر طراح) بزرگتر باشد. همچنین عدد شرط ماتریس ژاکوبین بهمنظور داشتن رفتاري یکسان در کلیه جهات لازم است از مقدار حداقل مورد نظر بزرگتر باشد. جابجایی پنجه به ازاي تحریک واحد عملگرها صرفنظر از شرایط دینامیکی ربات بوده و مقادیر تکین ماتریس ژاکوبین بیبعد شده در حقیقت نوعی ضریب بزرگنمایی براي ورودي عملگرها است که خروجی جابهجایی براي پنجه را تامین مینمایند. با توجه به موارد ذکر شده با اعمال محدودیت براي حداقل مقادیر عدد شرط و کوچکترین مقدار تکین میتوان به ساختاري با سرعتپذیري مطلوب در تمام جهات دست یافت. لذا با اعمال به ترتیب حداقل محدوده 0/6 و 1/3 براي عدد شرط و کوچکترین مقدار تکین محدوده فضايکاري کارتزینی براي ربات با ساختار مندرج در جدول 3 که داراي بیشینه حجم فضايکاري است به صورت شکل 15 خواهد بود. حجم فضايکاري کارتزینی بهدست آمده با سرعتپذیري مطلوب برابر 0/0093 m 3 استکه درحدود %77 از حجم فضاي کاري کارتزینی را انتقالی بهطور مشابه براي دستیابی به بیشینه حجم فضايکاري کارتزینی با سرعتپذیري مطلوب از الگوریتم ژنتیک استفاده میشود. قیود هندسی و طراحی براي این عملیات بهینهسازي به قرار زیر است. V * بیشینه= (V(ra, rb, d)) تابع هدف: (20) با توجه به قیود: 0/3 >ra>0/2-1 0/5>rb> 0/3-2 0/7 >d> 0/02-3 LCI 0/6-4 1/3 کمینه (SV) -5 نتایج عملیات بهینهسازي در جدول 4 نشان داده شده است. شکل 16 همگرایی نتایج در فرآیند بهینهیابی را نمایش میدهد. شکل 15 فضاي کاري کارتزینی (DCW) با سرعتپذیري مطلوب ربات با ساختار جدول 4 ساختار بهینه براي دستیابی به بزرگترین حجم فضايکاري با سرعت پارامتر ساختاري شعاع سکوي متحرك شعاع سکوي ثابت بخش فوقانی از لینک میانی موقعیت پذیري مطلوب علامت مشخصه ra(mm) اندازه 200 500 211 rb(mm) d(mm) 0/0113 m 3 حجم فضاي کاري کارتزینی حجم بزرگترین فضاي مکعبی داخل فضاي کاري جمعیت اولیه درصد حذف تعداد تکرار الگوریتم 0/0018 100 %20 51 m 3 --- 136
با توجه به اطلاعات حاصل از عملیات بهینهسازي شکل فضايکاري چالاك بهصورت شکل 17 خواهد بود. همچنین بزرگترین مکعب قابل محاط شدن در این فضا داراي حجمی به اندازه 0/0018m 3 خواهد بود. حجم اشغال شده توسط این مکعب %16 از کل فضايکاري با سرعتپذیري مطلوب میباشد. مشاهده میشود بعد از فرآیند بهینهیابی ساختاري حجم فضاي کاري کارتزینی تا حد ممکن به سمت فضایی مکعبی شکل با ابعاد بیشینه نزدیک شده به طوريکه دستیابی پنجه به هر موقعیتی درون آن با بیشینه سرعت دورانی و انتقالی امکانپذیر خواهد بود. - 8 نتیجه گیري بررسی شاخصهاي کیفی عملکرد سینماتیکی رباتهاي موازي با درجات آزادي مرکب در گرو بیبعد سازي ماتریس ژاکوبین است. دو دسته کلی از روشهاي بیبعدسازي ماتریسهاي ژاکوبین تا کنون توسط محققین پیشنهاد شده است. روش پیشنهادي جدید در این مقاله روشی به مراتب حساستر و با کاربرد بالاتر میباشد. استفاده از شاخصهاي کیفی حاصل از ماتریس ژاکوبین بیبعدشده قابلیت بهینهسازي ساختار ربات موازي با درجه آزادي مرکب را ممکن ساخته است. بهخصوص در زمینه کاربردي در صنعت ماشین ابزار فضاي کاري مکانیزم در راستاي X Y Z همراه با قابلیت دوران با محدوده مشخص تعریف میشود. در این شرایط ارزیابی کیفی عملکرد سینماتیکی ربات تريسپت بهعنوان مطالعه موردي و همچنین بهینهسازي ساختار ربات با درنظر گرفتن قیدهاي هندسی و طراحی با تابع هدف حجم فضاي کاري کارتزینی قاعدهمند (نزدیک به مکعب مستطیل) صورت گرفت. با توجه به تحقیقات صورت گرفته قبلی و نتایج حاصل از عملیات بهینه سازي با استفاده 1 از الگوریتم ژنتیک در محیط نرمافزار متلب مشخص میشود که براي دستیابی به فضايکاري کارتزینی با سرعتپذیري حداکثر که مورد نیاز ماشینهاي ابزار میباشد ساختار بهدست آمده داراي تفاوت اساسی با ماشین 2 فرز سی ان سی ساخته شده توسط شرکت تريسپت پی کی ام است بهطوریکه درصورت قراردادن مفصل یونیورسال روي سکو ثابت (مطابق آنچه در شکل 1 نشان داده شده است) حجم فضايکاري کارتزینی با چالاکی بالا بهطور قابل ملاحظهاي کاهش مییابد. نتایج حاصل از روش معرفی شده تایید شکل 16 نمودار همگرایی نتایج در بهینه سازي حجم فضاي کاري کارتزینی همراه با بیشینه سرعت دورانی و انتقالی شکل 17 بزرگترین فضاي کاري چالاك (MDCW) کارتزینی کننده نتایج بهدست آمده از روشهاي دیگر نیز میباشد. این موضوع نشان میدهد با قرارگیري مفصل یونیورسال در محدوده تقریبی میانگین از لینک میانی دستیابی به فضايکاري کارتزینی و غیرکارتزینی همراه با چالاکی حداکثر همراه با حجم و شکل مطلوب امکانپذیر خواهد بود. 9- فهرست علاي م a i ai bi bi c بردار موقعیت مفصل کروي iام سکوي متحرك شعاع سکوي متحرك m بردار موقعیت مفصل یونیورسال iام سکوي ثابت شعاع سکوي ثابت m بردار موقعیت c نسبت به O سرعت در راستاي قاي م پنجه ms -1 c& d Jc J d J v li بردار موقعیتP نسبت به C ماتریس ژاکوبین J ماتریس ضرایب بیبعدساز در روش مولفههاي سرعت نقاط واقع بر سکو J% ماتریس ضرایب بیبعدساز در روش بیبعدسازي کارتزینی ) J ماتریس ژاکوبین بیبعد کارتزین ماتریس ژاکوبین بیبعد با استفاده از ضریب وزندار ماتریس ژاکوبین بیبعد با استفاده از مولفههاي قاي م سرعت سه نقطه از سکو بردار پایه i ما طول بردار پایه i ما m li ضریب وزندار m L سرعت خطی پایهها ms -1 & li n { O } { P } q q& R بردار یکه دستگاه مختصات ثابت با محورهاي y x و z دستگاه مختصات متحرك با محورهاي v u و w بردار موقعیت مفاصل فعال بردار سرعت مفاصل فعال ماتریس دوران 1- MATLAB 2 -CNC (Computer Numerical Control) 137
[6] D. Chablat, Ph. Wenger, S. Caro, J. Angeles, The iso-conditioning loci of planar three dof parallel manipulators, Proceedings of DETC 2002, ASME Design Engineering Technical Conferences, Montreal, Quebec, Canada, 2002. [7] H. R. MohammadiDaniali, P. Zsombor-Murray, J. Angeles, The isotropic design of two general classes of planar parallel manipulators, Journal of Robotic Systems, Vol. 12, No. 12, pp. 795-805, 1995. [8] C. M. Gosselin, The optimum design of robotic manipulators using dexterity indices, Journal of Robotics and Autonomous Systems, Vol.9, No. 4, pp. 213 226, 1992. [9] S.-G. Kim, J. Ryu, New dimensionally homogeneous jacobian matrix formulation by three end-effector points for optimal design of parallel manipulators, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 19, No. 4, pp. 731 737, 2003. [10] J. Angeles, Is there a characteristic length of a rigid-body displacement, Mechanism and Machine Theory, Vol. 41, pp. 884 896, 2006. [11] M. A. Hosseini, H.R. M. Daniali, Weighted local conditioning index of a positioning and orienting parallel manipulator, Scientia Iranica Jouranal, Vol. 18, No. 1, pp. 115-120, 2011. [12] M. A. Hosseini, H.R. M. Daniali, H.D. Taghirad, Dexterous workspace optimization of Tricept robot, Advanced Robotics, Vol. 25, No. 1, pp. 1697-1712, 2011. [13] K.-E. Neumann, US patent 4,732,525, 22, Mar. 1988. [14] B. Siciliano, The Tricept robot: Inverse kinematics, manipulability analysis and closed-loop direct kinematics algorithm, Robotica, Vol. 17, No. 4, pp. 437-445, 1999. [15] D. Zhang, C. M. Gosselin, Kinetostatic analysis and design optimization of the tricept machine tool family, Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol. 124, No. 3, pp. 725-733, 2002. [16] http://www. Pkmtricept.com, 2012. [17] J. K. Salisbury, J. J. Craig, Articulated hands: Force control and kinematic issues, The International Journal of Robotics Research, Vol. 1, No. 1, pp. 4-17, 1982. [18] R. E. Stamper, L. W. Tsai, G. C. Walsh, Optimization of a three DOF translational platform for well-conditioned workspace, IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Vol. 4, pp. 3250-3255, 1997. حداکثر مقدار تکین ماتریس ژاکوبین بیبعد حداقل مقدار تکین ماتریس ژاکوبین بیبعد بردار سرعت زاویهاي 1- rads بردار موقعیت پنجه در فضاي شامل درجه آزادي ربات بردار توییست پنجه در فضاي شامل درجه آزادي ربات بردار موقعیت پنجه در فضاي کارتزین Smax Smin ω x x& xc &x بردار سرعت پنجه در فضاي کارتزین c زیرنویسها مفصل یونیورسال i ما پایه i ما bi li 10- مراجع [1] P. VarshoviJaghargh, D. Naderi, M. Tale Masouleh, Forward kinematic problem of two 4-RRUR with different geometric structure and one 4- RUU parallel robots, Modares Mechanical Engineering Journal, Vol. 12, No. 4, pp. 105-119, 2013. (In Persian) [2] J. -P. Merlet, Parallel Robot, Second Edition, Springer, 2006. [3] G. Pond, J.A. Carretero, Quantitative dexterous workspace comparison of parallel manipulators, Mechanism and Machine Theory, Vol. 42, No. 10, pp. 1388-1400, 2007. [4] F. Ranjbaran, J. Angeles, M. A. Gonzalez-Palacios, R. V. Patel, The mechanical design of a seven-axes manipulator with kinematic isotropy, Journal of Intelligent and Robotic Systems, Vol. 14, pp. 21-41, 1995. [5] O. Ma, J. Angeles, Optimum architecture design of platform manipulators, Proc. IEEE Int. Conf. Advanced Robotics, 1991. 138